imported>Ravdeev: /* Контрольная работа */

2023-06-09T15:55:08Z

Контрольная работа

Новая страница

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_AMI_21_22_osn https://t.me/Alg_AMI_21_22_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ213 !! БПМИ215 !! БПМИ216 !! БПМИ217 !! БПМИ218 !! БПМИ219 !! БПМИ2110 !! БПМИ2111 !! БПМИ2112
|-
|| Лектор ||colspan="9"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/310667694 Артём Максаев] || colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Авдеев] || [http://www.hse.ru/org/persons/65856498 Михаил Федоров] || [https://www.hse.ru/org/persons/209813351 Никита Медведь] || [http://www.hse.ru/org/persons/224876117 Антон Шафаревич] || [http://www.hse.ru/org/persons/310667694 Артём Максаев] || [https://www.hse.ru/org/persons/314158003 Михаил Хрыстик] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Гайфуллин]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/amgfrthsp Марина Груздева] || [https://t.me/fdr400 Фёдор Осетров] || [https://t.me/loende Алия Зарипова] || [https://t.me/yes_armen Армен Есаян] || [https://t.me/valeri_shh Валерия Шишлевская] || [https://t.me/mari_solod Мария Солодуха] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || Тагир Хамитов || Денис Лысков
|}

= Расписание консультаций =

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Роман Авдеев || style="text-align:center;" colspan="5" | По договорённости, пишите в [https://t.me/newsuslik тг]
|-
| <center>2</center> || Артём Максаев || || || || ||
|-
| <center>3</center> || Михаил Федоров || || || || ||
|-
| <center>4</center> || Никита Медведь || || || || ||
|-
| <center>5</center> || Антон Шафаревич || || || || ||
|-
| <center>6</center> || Михаил Хрыстик || || || || ||
|-
| <center>7</center> || Сергей Гайфуллин || || || || ||
|-
| <center>8</center> || Марина Груздева || style="text-align:center;" colspan="5" | По договорённости, пишите в [https://t.me/amgfrthsp тг]
|-
| <center>9</center> || Фёдор Осетров || style="text-align:center;" colspan="5" | По договорённости, пишите в [https://t.me/fdr400 тг]
|-
| <center>10</center> || Зарипова Алия || style="text-align:center;" colspan="5" | По договорённости, пишите в [https://t.me/loende тг]
|-
| <center>11</center> || Армен Есаян || style="text-align:center;" colspan="5" | По договорённости, пишите в [https://t.me/yes_armen тг]
|-
| <center>12</center> || Валерия Шишлевская || style="text-align:center;" colspan="5" | По договорённости, пишите в [https://t.me/valeri_shh тг]
|-
| <center>13</center> || Мария Солодуха || style="text-align:center;" colspan="5" | По договорённости, пишите в [https://t.me/mari_solod тг]
|-
| <center>14</center> || Черебедов Марк || style="text-align:center;" colspan="5" | По договорённости, пишите в [https://t.me/maaarkooo тг]
|-
| <center>15</center> || Тагир Хамитов || style="text-align:center;" colspan="5" | По договорённости, пишите в [https://t.me/tagirhamitov тг]
|-
| <center>16</center> || Денис Лысков || || || || ||
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,3 * Одз + 0,2*Ок/р + 0,5*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

'''Лекция 1''' (6.04.2022) [[https://youtu.be/4FxRihEeMMA '''видеозапись'''], [https://drive.google.com/file/d/1m0yqb1uLgab8uhKX-4zNVsKlpQqetKaI/view?usp=sharing '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые смежные классы.

'''Лекция 2''' (13.04.2022) [[https://youtu.be/0FbHHPXYCO4 '''видеозапись'''], [https://drive.google.com/file/d/1aQ7jNCkabpLUnVKBPzpfMJdrPWNFqnhf/view?usp=sharing '''слайды''']]. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры.

'''Лекция 3''' (20.04.2022) [[https://youtu.be/ktQj7gffOFo '''видеозапись''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля.

[https://drive.google.com/file/d/15WRWKah1cmE5kPsdY_OYHEHKy1NXSlG5/view?usp=sharing '''Конспект, включающий в себя содержание лекций 1–3''']

'''Лекция 4''' (27.04.2022) [[https://www.youtube.com/watch?v=qhcPXpRJPfg '''видеозапись''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец.

'''Лекция 5''' (11.05.2022) [[https://www.youtube.com/watch?v=2sKNYVO-nrQ '''видеозапись'''], [https://drive.google.com/file/d/1CvVfa2dss-lrZXxXxvsDvoMJDTl2nQ40/view?usp=sharing '''слайды''']]. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Базис факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем.

[https://drive.google.com/file/d/1IVu_rRhEKS7x--SqHp-XG6e9ha2UGFFI/view?usp=sharing '''Конспект, включающий в себя содержание лекций 4–5''']

'''Лекция 6''' (18.05.2022) [[https://www.youtube.com/watch?v=xd_doyhSaTg '''видеозапись'''], [https://drive.google.com/file/d/1cv30yVnkvvI8-LAfMA9XruSxyMEKEc8h/view?usp=sharing '''слайды''']]. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов. Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера (формулировка).

'''Лекция 7''' (25.05.2022) [[https://www.youtube.com/watch?v=W6mwpE9mZwM '''видеозапись'''], [https://drive.google.com/file/d/1kmIeMk4_i2ruyCuS44TlZrUaj36sIN0P/view?usp=sharing '''слайды''']]. Доказательство критерия Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях. Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами.

[https://drive.google.com/file/d/15_FEhXayPtArNTCfcjlhLxsjnf9v6ZD0/view?usp=sharing '''Конспект, включающий в себя содержание лекций 6–7''']

'''Лекция 8''' (1.06.2022) [[https://www.youtube.com/watch?v=QJYXaqy19Ns '''видеозапись'''], [https://drive.google.com/file/d/1tlRcIf2XqAqqEpIK8zSbxF9ZilxKQjzK/view?usp=sharing '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Присоединение корня неприводимого многочлена. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождённое алгебраическим элементом. Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов.

'''Лекция 9''' (8.06.2022) [[https://youtu.be/mGaZ3mIu-Jc '''видеозапись'''], [https://drive.google.com/file/d/1fXL8-6ESbOYXRr2NvJkFS_yPWJ7IXRxS/view?usp=sharing '''слайды''']]. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов. Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля.

'''Лекция 10''' (15.06.2022) [[https://youtu.be/ptLBEA44T_Y '''видеозапись''']]. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять. Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей. Бинарный код Хэмминга, его минимальное расстояние и число ошибок, которые он может исправлять. Неравенство Синглтона. Код Рида–Соломона и его минимальное расстояние.

= Листки с задачами =

Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.

[https://drive.google.com/file/d/1byNQPkFIYgh2NnyEKkMinSFdeNozyrm7/view?usp=sharing '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1LyZDgnfbfpsoHC6YGQW5abqbtsiFsOJ2/view?usp=sharing '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/1P-B5JMIhKEFgb014T2FrujNAJFhODjNb/view?usp=sharing '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/1zCi-6-2p884l9HSQeMQGtsoYRt8nG_29/view?usp=sharing '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/172lzUvQod2NSpcyL6O4dUBA-qRsFrVaU/view?usp=sharing '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/11-ubDx3JGlyqpOeMTILTYHquVzIxU6ua/view?usp=sharing '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1kS4KH01XLbYd-MtXhhoUq1sEaZjSJ8LG/view?usp=sharing '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1iDW735YE-UA5ilqSaTAx45jh2Zwkih7u/view?usp=sharing '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1z7_PPLXCiZMU9QcUBwGTWatdcLIJwa08/view?usp=sharing '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1bUOHQquMYwgylbVlt-AKElDxSX8JMtJX/view?usp=sharing '''Задачи к лекции 10''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 14 июня, 16:20, продолжительность — 2 часа

Организационная информация по проведению контрольной: [https://docs.google.com/document/d/1AEbbHrgV4MUOWuZlLyVotbBYaLwMsTT8Nxd5OZN0RJE/edit?usp=sharing '''очный формат''']; [https://docs.google.com/document/d/1zSFKcRVkSjzZgDrdxSYeRoHNGKCCHeiqJwAfJKkMWXU/edit?usp=sharing '''дистанционный формат''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

[https://drive.google.com/file/d/14K-KOHWN6ZjT8x5SdiWeuiI5HzrGazYI/view?usp=sharing '''Условия задач с контрольной''']

'''Темы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,6,8 из листка 7 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 6,7 из листка 5, задача 3 из ДЗ-5, задачи 4,5 из листка 8 и задача 1 из ДЗ-8]
* Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина).

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет.

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

Студент вытягивает билет с 4 вопросами из программы (два вопроса по 2 балла и ещё два по 3 балла; все вопросы на доказательства!). На подготовку к ответу даётся 50 минут, после чего происходит разговор с принимающим, по результатам которого выставляется оценка. Знание только определений и формулировок даёт не более 0,5 балла за вопрос и, следовательно, не более 2 баллов в сумме.

Организационная информация: [https://docs.google.com/document/d/19GSMXOSQdeGdqs4DhcBzoQjSxt84ytECj39ZAKfBEXU/edit?usp=sharing '''очный формат'''], [https://docs.google.com/document/d/1mArYmyGuIm6CrIaPkMisq8gTa5h0_s9OTOvjIBxGCj8/edit?usp=sharing '''дистанционный формат''']

[https://drive.google.com/file/d/1ah0o7hs1-yEh3l0nkZ7CWGre5QjnK2wH/view?usp=sharing '''Список вопросов к экзамену''']

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1KfALsqsOcXeU4TDb9U2tQhRyJ0eaIDfCRRZK5Y9HK1g/edit#gid=1697515667 213] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1KfALsqsOcXeU4TDb9U2tQhRyJ0eaIDfCRRZK5Y9HK1g/edit#gid=816668604 215] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1KfALsqsOcXeU4TDb9U2tQhRyJ0eaIDfCRRZK5Y9HK1g/edit#gid=458782119 216] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1KfALsqsOcXeU4TDb9U2tQhRyJ0eaIDfCRRZK5Y9HK1g/edit#gid=1181982027 217] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1KfALsqsOcXeU4TDb9U2tQhRyJ0eaIDfCRRZK5Y9HK1g/edit#gid=2074432488 218] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1KfALsqsOcXeU4TDb9U2tQhRyJ0eaIDfCRRZK5Y9HK1g/edit#gid=1003272547 219] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1KfALsqsOcXeU4TDb9U2tQhRyJ0eaIDfCRRZK5Y9HK1g/edit#gid=658286564 2110] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1KfALsqsOcXeU4TDb9U2tQhRyJ0eaIDfCRRZK5Y9HK1g/edit#gid=834516625 2111] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1KfALsqsOcXeU4TDb9U2tQhRyJ0eaIDfCRRZK5Y9HK1g/edit#gid=1692194870 2112]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988.
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003.

Алгебра на ПМИ 2021/2022 (основной поток) - История изменений

imported>Ravdeev: /* Контрольная работа */