imported>Ravdeev: Migrated current public revision from wiki.cs.hse.ru

2016-04-03T21:17:36Z

Migrated current public revision from wiki.cs.hse.ru

Новая страница

Цель этого небольшого курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры. Первые пять лекций посвящены теории групп, последние пять — кольцам и полям. Мы доказали базовые факты об этих структурах и продемонстрировали их возможные приложения. Сдавшие этот курс могут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от многих переменных однозначно раскладывается на простые множители, и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! 101 !! 102 !! 103 !! 104 !! 105 !! 106 !! 107 !! 108
|-
|| Лектор ||colspan="4"| [http://www.hse.ru/staff/arjanstev Иван Владимирович Аржанцев] ||colspan="4"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/staff/arjanstev Иван Владимирович Аржанцев] ||colspan="2"| [mailto:kotpy@yandex-team.ru Полина Юрьевна Котенкова] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] || [http://www.hse.ru/org/persons/135240204 Андрей Александрович Кустарёв]
|-
|| Ассистент || [mailto:sgasgar@gmail.com Виктор Табаков] || [mailto:vasiljev91@gmail.com Андрей Васильев] || [mailto:yhromenkov@mail.ru Ярослав Хроменков] || [mailto:kiz.roman@yandex.ru Роман Кизилов] || [mailto:xumuk.unity.dev@gmail.com Максим Каледин] || [mailto:katya_number_one@mail.ru Екатерина Соколова] || [mailto:taskmage@inbox.ru Фёдор Коган] || [mailto:to.dmitry.petrov@gmail.com Дмитрий Петров]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Иван Владимирович Аржанцев || || 17:00–18:30, каб. 603 || || ||
|-
| <center>2</center> || Роман Сергеевич Авдеев || || 18:10–18:50, ауд. 313 || || 13:40–14:20, ауд. 313 ||
|-
| <center>3</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || 18:10–19:30, ауд. 313 || ||
|-
| <center>4</center> || Андрей Александрович Кустарёв || || || 16:40–17:40, ауд. 313 || ||
|-
| <center>5</center> || Виктор Табаков || || 15:10–16:30, ауд. 312 || || ||
|-
| <center>6</center> || Андрей Васильев || || || || || 18:10–19:30, ауд. 511
|-
| <center>7</center> || Ярослав Хроменков || || || || 12:10–13:30, ауд. 313 ||
|-
| <center>8</center> || Роман Кизилов || || || || 13:40–15:00, ауд. 314 ||
|-
| <center>9</center> || Максим Каледин || || || || 13:40–15:00, ауд. 511 ||
|-
| 10 || Екатерина Соколова || || || || 15:10–16:30, ауд. 314 ||
|-
| 11 || Фёдор Коган || 16:40–18:00, ауд. 314 || || || ||
|-
| 12 || Дмитрий Петров || || || || || 15:10–16:30, ауд. 511
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

=== Домашняя работа ===

Домашние задания условно разделены на две части, каждая из которых содержит по 20 задач. Первая часть (по теории групп) состоит из 5 блоков по 4 задачи в каждом, вторая часть (по кольцам и полям) состоит из 4 блоков по 5 задач в каждом. Домашние задания выдавались на каждом семинаре, по одному блоку задач за раз.

'''Важно:''' при обнаружении двух и более одинаковых решений в работах разных студентов результаты аннулировались независимо от того, кто у кого списал.

Результаты выполнения первой части домашних заданий были отражены в оценке Oдз1, вычисляемой по формуле

Oдз1 = 0,5 * (число решённых задач из первой части).

Аналогично, работа над второй частью домашних заданий выливалась в оценку Oдз2:

Oдз2 = 0,5 * (число решённых задач из второй части).

=== Контрольная работа ===

Письменная контрольная работа была проведена одновременно для всех групп 13 июня с 13:40 до 15:00 (1-й поток — ауд. 509, 2-й поток — ауд. 622). Работа состояла из шести задач стоимостью по 2 балла каждая.

На контрольной можно было пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) не допускалось.

[https://www.dropbox.com/s/urmsbzp3aikrx75/Control_Work_Algebra.pdf?dl=0 '''Задачи с контрольной''']

'''Комментарии к оценкам за контрольную'''

Задача 1. Как правило, 1 балл выставлялся в том случае, когда было правильно найдено число элементов нужного порядка в группе.

Задача 2. Если метод верный и решение доведено до конца, но на каком-то шаге процесса допущена арифметическая ошибка (или ошибка по невнимательности), то это оценивалось в 1 балл даже в случае неправильного ответа.

Задача 3. Как правило, 1 балл выставлялся в случае, когда решение не доведено до конца, но есть существенные продвижения.

Задача 4. Из-за большой сложности вычислений полные решения этой задачи были оценены в 3 балла. Общий критерий: число баллов за эту задачу равно числу правильно вычисленных коэффициентов результирующего многочлена.

Задача 5. Если в работе вычислен только наибольший общий делитель данных многочленов, то это оценивалось в 1 балл.

Задача 6. Неполные решения, в которых удалось избавиться от иррациональности в знаменателе, оценивались в 1 балл.

'''Показ работ''' контрольной прошёл 15 июня с 15:10 до 16:30 в ауд. 622.

==== Типы задач на контрольной работе ====

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45]
* Факторгруппы свободных абелевых групп [60.52, 60.53, 60.54]
* Орбиты и стабилизаторы для действий групп на множествах [57.1, 57.2, 57.3, 57.9]
* Симметрические многочлены и теорема Виета [31.2, 31.3. 31.4, 31.9, 31.10, 31.25, 31.26]
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.5, 25.7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13]

Для каждого типа в скобках указаны номера задач из Сборника задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина (М.: МЦНМО, 2009), которые рекомендовалось решать для тренировки.

=== Экзамен ===

Экзамен был устный. Каждый билет включал в себя по два вопроса из программы курса.

[https://www.dropbox.com/s/c5k3ier3z6stdkq/Program_Algebra.pdf?dl=0 '''Программа курса''']

==== Расписание экзаменов ====

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! 101 !! 102 !! 103 !! 104 !! 105 !! 106 !! 107 !! 108
|-
|| Дата ||colspan="4"| 19 июня ||colspan="4"| 20 июня
|-
|| Время || 10:30 || 12:10 || 13:40 || 15:10 || 10:30 || 12:10 || 13:40 || 15:10
|-
|| Аудитория ||colspan="8"| 622
|}

=== Порядок формирования оценок ===

Накопленная оценка вычислялась по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,3 * Oдз1 + 0,3 * Oдз2 + 0,4 * Oк/р,

где Oдз1 — оценка за первое домашнее задание, Oдз2 — оценка за второе домашнее задание, Oк/р — оценка за контрольную работу.

Итоговая оценка выражалась через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,5 * Oнакопленная + 0,5 * Оэкз.

Округление производилось только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

== Конспекты лекций ==

В этом разделе выложены подготовленные И.В. Аржанцевым (и местами дополненные Р.С. Авдеевым) конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.

[https://www.dropbox.com/s/ub0xg2ttudvaz1f/Algebra_Lecture_01.pdf?dl=0 '''Лекция 1'''] (2.04.2015). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия

[https://www.dropbox.com/s/v07oln4vxkj1fug/Algebra_Lecture_02.pdf?dl=0 '''Лекция 2'''] (9.04.2015). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы

[https://www.dropbox.com/s/m0u8o0unnfe9cvf/Algebra_Lecture_03.pdf?dl=0 '''Лекция 3'''] (16.04.2015). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду

[https://www.dropbox.com/s/gkihmqrhilivzvc/Algebra_Lecture_04.pdf?dl=0 '''Лекция 4'''] (23.04.2015). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы

[https://www.dropbox.com/s/fe0kksq74ksprvn/Algebra_Lecture_05.pdf?dl=0 '''Лекция 5'''] (30.04.2015). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли

[https://www.dropbox.com/s/1uqih1xswsnhqfe/Algebra_Lecture_06.pdf?dl=0 '''Лекция 6'''] (14.05.2015). Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем

[https://www.dropbox.com/s/fjd7zvsa04lz5ef/Algebra_Lecture_07.pdf?dl=0 '''Лекция 7'''] (21.05.2015). Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов от многих переменных

[https://www.dropbox.com/s/0uq6u0lrh7pn8u4/Algebra_Lecture_08.pdf?dl=0 '''Лекция 8'''] (28.05.2015). Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. Дискриминант многочлена

[https://www.dropbox.com/s/bnns7m7wi9465i8/Algebra_Lecture_09.pdf?dl=0 '''Лекция 9'''] (4.06.2015). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность

[https://www.dropbox.com/s/km9x86i9pthgpen/Algebra_Lecture_10.pdf?dl=0 '''Лекция 10'''] (11.06.2015). Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.

== Листки с задачами ==

[https://www.dropbox.com/s/q2ozwocynk0q640/Problems01.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 1''']

[https://www.dropbox.com/s/662a61q2i8hlhw4/Problems02.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 2''']

[https://www.dropbox.com/s/nituwxj72g68px5/Problems03.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 3''']

[https://www.dropbox.com/s/8mta2o8nvjv09bg/Problems04.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 4''']

[https://www.dropbox.com/s/ejm7y3q8j1bjj5m/Problems05.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 5''']

[https://www.dropbox.com/s/ewxmag4u2f1j8v6/Problems06.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 6''']

[https://www.dropbox.com/s/o4nimy0gqecmu5b/Problems07.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 7''']

[https://www.dropbox.com/s/tiiwcak8e0ssnt7/Problems08.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 8''']

[https://www.dropbox.com/s/vhl5p1fa7ornzyk/Problems09.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 9''']

[https://www.dropbox.com/s/iul8wjap2lc8a0d/Problems10.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 10''']

== Ведомости текущего контроля ==

[https://docs.google.com/a/179.ru/spreadsheets/d/1zSXNS5DwRXlqskBMusGOdqytwWhZM4PAs3OWPNUbtMY/edit#gid=0 '''101''']

[https://docs.google.com/a/179.ru/spreadsheets/d/1zSXNS5DwRXlqskBMusGOdqytwWhZM4PAs3OWPNUbtMY/edit#gid=2138629155 '''102''']

[https://docs.google.com/a/179.ru/spreadsheets/d/1zSXNS5DwRXlqskBMusGOdqytwWhZM4PAs3OWPNUbtMY/edit#gid=192814063 '''103''']

[https://docs.google.com/a/179.ru/spreadsheets/d/1zSXNS5DwRXlqskBMusGOdqytwWhZM4PAs3OWPNUbtMY/edit#gid=632424554 '''104''']

[https://docs.google.com/a/179.ru/spreadsheets/d/1zSXNS5DwRXlqskBMusGOdqytwWhZM4PAs3OWPNUbtMY/edit#gid=169157985 '''105''']

[https://docs.google.com/a/179.ru/spreadsheets/d/1zSXNS5DwRXlqskBMusGOdqytwWhZM4PAs3OWPNUbtMY/edit#gid=621408183 '''106''']

[https://docs.google.com/a/179.ru/spreadsheets/d/1zSXNS5DwRXlqskBMusGOdqytwWhZM4PAs3OWPNUbtMY/edit#gid=424480303 '''107''']

[https://docs.google.com/a/179.ru/spreadsheets/d/1zSXNS5DwRXlqskBMusGOdqytwWhZM4PAs3OWPNUbtMY/edit#gid=1052784168 '''108''']

== Литература ==

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.

Алгебра 2014/2015 - История изменений

imported>Ravdeev: Migrated current public revision from wiki.cs.hse.ru