imported>Emaevskiy: /* IV. Дифференциальные уравнения в частных производных */

2021-06-14T12:58:28Z

IV. Дифференциальные уравнения в частных производных

Новая страница

== О курсе ==

Данный курс '''Математическое моделирование''' читается в 2020/2021 учебном году на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ.

Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:
* методы построения моделей (в основном из физики),
* точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
* численные методы исследования моделей.
Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).

Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.

Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B0%D0%B9%D1%82%D1%85%D0%B5%D0%B4,_%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%84%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%9D%D0%BE%D1%80%D1%82 А.Н. Уайтхеда]: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.

Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.

== План курса ==

===I. Введение в математическое моделирование===

# Этапы построения математической модели. Математическая модель как система уравнений. Корректность модели по Адамару.
# Обзор математического моделирования в естественных и социально-экономических науках. Структура курса.
# Примеры математических моделей.

===II. Алгебраические уравнения===

# Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular.
# Результант многочленов и исключение неизвестных.
# Алгебраические уравнения в роботике. Алгебраические уравнения и автоматическое доказательство геометрических теорем.
# Аналитический подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Окрестность простой точки. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Получение асимптотического разложения методом последовательных приближений. Обратная функция и ряд Лагранжа.
# Пример: методы приближенного решения уравнения Кеплера.
# Окрестность точки ветвления. Диаграмма Ньютона. Разложение неявной функции в ряд Пюизо.
# Методы численного решения СЛАУ. Метод Гаусса (обычный и с выбором главного элемента). Итерационные методы Якоби и Зейделя. Решение переопределенной системы. Псевдорешение (и метод наименьших квадратов).
# Методы численного решения системы нелинейных уравнений. Деление отрезка пополам. Метод Нелдера - Мида. Метод простых итераций. Метод Ньютона (касательных) и метод одной касательной.

'''Минимальные знания и навыки'''. Алгоритм множественного деления многочленов. Базис Грёбнера и алгоритм Бухбергера. Результант многочленов от одной переменной. Исключение неизвестных из системы полиномиальных уравнений (любой метод). Разложение неявной функции в окрестности простой точки (любой метод). Диаграмма Ньютона для многочлена. Разложение неявной функции в окрестности точки ветвления. Алгоритмы метода Гаусса с выбором главного элемента и итерационного метода Зейделя. Алгоритм метода Ньютона (касательных).

===III. Обыкновенные дифференциальные уравнения===

# Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения.
# Система уравнений 1-го порядка и уравнение n-го порядка. Задача Коши. Существование решения. Единственность решения. Непрерывная зависимость решения от начальных данных.
# Сведение к интегральному уравнению. Приближение по невязке и ломаные Эйлера. Теорема Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения и метод последовательных приближений. Интегральное неравенство Гронуолла.
# Система линейных уравнений 1-го порядка. Линейное однородное уравнение. Фундаментальная матрица. Теорема Лиувилля об определителе. Понижение порядка в случае известных частных решений. Линейное неоднородное уравнение.
# Скалярное линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Сведение векторного линейного уравнения с постоянной матрицей к скалярному уравнению. Матричная экспонента и ее вычисление. (Другой подход: через приведение матрицы к жордановой нормальной форме.) Уравнение Эйлера и матричная степенная функция.
# Пример: модель хищник-жертва (уравнения Лотки - Вольтерры).
# Автономная система уравнений. Фазовое пространство. Поток, порожденный векторным полем. Точка покоя. Классификация точек покоя 2-мерной линейной системы. Теорема о выпрямлении векторного поля в окрестности обыкновенной точки. Метод Пуанкаре приведения уравнения к нормальной форме в окрестности точки покоя (при отсутствии резонансов).
# Устойчивость, асимптотическая устойчивость, неустойчивость решения по Ляпунову. Критерии Рауса - Гурвица и Льенара - Шипара. Исследование устойчивости по первому приближению. Теорема Ляпунова о разложении. Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости.
# Диаграмма Ньютона для ОДУ и асимптотика решений.
# Система линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Матричный логарифм. Теорема Флоке. Матрица монодромии и мультипликаторы. Приближенное вычисление матрицы монодромии. Разложение решения в ряд Фурье.
# Асимптотика решений системы линейных уравнений с матрицей, близкой к постоянной. Преобразование Лиувилля для линейных уравнений 2-го порядка. Асимптотика функций Бесселя.
# Особая точка I-го рода линейного уравнения. Разложение решения в окрестности особой точки. Случай отсутствия собственных значений с целочисленной разностью. Сведение общего случая к предыдущему. Уравнение Бесселя.
# Разложение по малому параметру. Регулярный случай. Метод Пуанкаре. Уравнение Дюффинга. Уравнение Ван дер Поля.
# Разложение по малому параметру. Сингулярный случай. Метод Тихонова. Построение формального асимптотического разложения.
# Численные методы решения ОДУ. Методы Рунге - Кутты. Методы Адамса. Методы интегрирования жестких задач.

'''Минимальные знания и навыки'''. Сведение скалярного уравнения n-го порядка к векторному уравнению 1-го порядка и обратно. Метод последовательных приближений для векторного уравнения 1-го порядка, асимптотика в окрестности начальной точки. Оценка нормы решения с помощью неравенства Гронуолла. Вычисление определителя фундаментальной матрицы с помощью теоремы Лиувилля. Понижение порядка скалярного линейного однородного уравнения и размерности векторного линейного однородного уравнения в случае известных решений. Решение линейного неоднородного уравнения при известном общем решении однородного. Общее решение линейного однородного уравнения (скалярного, векторного и матричного) с постоянными коэффициентами. Вычисление матричной экспоненты. Решение однородного уравнения Эйлера (скалярного, векторного и матричного) и вычисление матричной степенной функции. Метод Пуанкаре приведения уравнения к нормальной форме в окрестности точки покоя (при отсутствии резонансов). Критерии Рауса - Гурвица и Льенара - Шипара асимптотической устойчивости. Применение теоремы Ляпунова о разложении для поиска асимптотики малых решений. Вычисление матричного логарифма. Приближенное вычисление матрицы монодромии и мультипликаторов для системы с периодическими коэффициентами. Асимптотика решений системы линейных уравнений с матрицей, близкой к постоянной. Преобразование Лиувилля для линейных уравнений 2-го порядка. Асимптотическое разложение в окрестности особой точки I-го рода (при отсутствии собственных значений с целочисленной разностью). Построение формального асимптотического разложения по малому параметру в регулярном и сингулярном случаях.

===IV. Дифференциальные уравнения в частных производных===

1. Задача Коши для системы уравнений в дифференциалах (уравнения Пфаффа). Сведение к линейной однородной системе уравнений в частных производных I-го порядка. Понятие вполне интегрируемой системы линейных дифференциальных форм. Задача о поиске интегрирующего множителя системы дифференциальных форм. Условия Фробениуса. Метод понижения размерности.

2. Задача Коши для скалярного уравнения в частных производных I-го порядка. Линейное однородное уравнение в частных производных I-го порядка. Характеристики. Условие нехарактеристичности. Квазилинейное уравнение в частных производных I-го порядка. Нелинейное уравнение в частных производных I-го порядка.

3. Система уравнений в частных производных I-го порядка в форме Коши - Ковалевской с аналитическими правыми частями и начальными данными. Теорема Коши - Ковалевской. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Метод мажорантного ряда. Система уравнений I-го порядка в неявной форме с начальными данными на аналитической гиперповерхности. Условие локальной приводимости к форме Коши - Ковалевской. Характеристические направления и характеристические гиперповерхности. Контрпримеры: отсутствие аналитического решения уравнения теплопроводности; некорректность задачи Коши для уравнения Лапласа. Метод Фурье исследования начальной задачи для линейного однородного уравнения на устойчивость.

4. Классификация линейных уравнений 2-го порядка. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического, гиперболического и параболического типа.

5. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Внутренняя и внешняя краевые задачи Дирихле и Неймана. Метод разделения переменных. Решение уравнения Лапласа в классических областях: прямоугольник, круг, цилиндр, шар (в осесимметричном случае). Формулы Грина. Основные свойства гармонических функций (теорема о среднем, принцип максимума). Единственность и устойчивость решения внутренней задачи Дирихле.

6. Начально-краевые задачи для 1-мерного волнового уравнения. Начальная задача на прямой. Формула Даламбера. Случай неоднородного уравнения. Начально-краевая задача на полупрямой. Начально-краевая задача на отрезке. Энергетическая оценка и теорема единственности. Задача Гурса для неоднородного уравнения.

7. Начально-краевые задачи для 1-мерного уравнения теплопроводности. Начально-краевая задача на отрезке. Метод разделения переменных. Функция источника. Случай неоднородного уравнения. Принцип максимума и теорема единственности. Начальная задача на прямой для однородного и неоднородного уравнения. Начально-краевая задача на полупрямой.

'''Минимальные знания и навыки'''. Условия Фробениуса для системы уравнений в дифференциалах (Пфаффа). Метод понижения размерности. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных I-го порядка. Приведение уравнения n-го порядка класса Ковалевской к системе уравнений I-го порядка в форме Коши - Ковалевской. Поиск решения начальной задачи в виде степенного ряда в окрестности точки. Метод Фурье исследования начальной задачи для линейного однородного уравнения на устойчивость. Классификация линейных уравнений 2-го порядка в окрестности точки. Решение краевых задач для уравнения Лапласа в классических областях. Решение начально-краевых задач для 1-мерного волнового уравнения на прямой, полупрямой и отрезке. Решение начально-краевых задач для 1-мерного уравнения теплопроводности на прямой, полупрямой и отрезке.

== Занятия ==

Записи лекций и семинаров выкладываются в [https://www.youtube.com/playlist?list=PLEwK9wdS5g0opdC2zIdh1TMpfYp5Sgd-8 плейлист]

Текущие оценки за доклады и вопросы к ним в [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1MMMKemVMc_NFTICvHe9wEG3dZ_HJLm2-SJhTB07_pcc/edit#gid=131386539 гугл-таблице]

== Экзамен ==

На экзамен выносится материал курса в рамках минимальных знаний и навыков - смотрите выше.

В процессе экзамена можно использовать любые материалы и компьютерные программы. Но решение задач оформляется на бумаге и должно быть выполнено на достаточном уровне подробности, позволяющем проследить и повторить все выполненные действия. Общие алгоритмические описания действий при этом должны сопровождаться конкретными выкладками.

Математическое моделирование - История изменений

imported>Emaevskiy: /* IV. Дифференциальные уравнения в частных производных */