https://wikicshse.ru/index.php?action=history&feed=atom&title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_22Математическое моделирование 22 - История изменений2026-06-08T07:51:52ZИстория изменений этой страницы в викиMediaWiki 1.45.3https://wikicshse.ru/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_22&diff=1376&oldid=previmported>Emaevskiy: /* 3. Задача Коши для УрЧП */2022-06-06T09:37:07Z<p><span class="autocomment">3. Задача Коши для УрЧП</span></p>
<p><b>Новая страница</b></p><div>== О курсе ==<br />
<br />
Данный курс '''Математическое моделирование''' читается во 2-ом семестре 2021/2022 учебного года на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ для специализации Математическая инженерия. <br />
<br />
Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов: <br />
* собственно модели (вариационное исчисление, дифференциальная геометрия, физика), <br />
* точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические), <br />
* численные методы исследования моделей. <br />
Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).<br />
<br />
Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа. <br />
<br />
Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B0%D0%B9%D1%82%D1%85%D0%B5%D0%B4,_%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%84%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%9D%D0%BE%D1%80%D1%82 А.Н. Уайтхеда]: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.<br />
<br />
Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.<br />
<br />
== План курса ==<br />
<br />
В рамках семестрового курса мы вряд ли имеем возможность вникать в изучаемые темы слишком глубоко. <br />
Многие из представленных ниже тем в отдельности могли бы претендовать на семестровый курс, или даже более.<br />
Наш курс следует рассматривать как не более, чем знакомство с некоторыми задачами и методами математического моделирования.<br />
Приведенные в каждой теме литературные ссылки могут быть полезны для более детального изучения (эти книги рекомендуется по крайней мере бегло просматривать, чтобы составить себе общее представление).<br />
Дополнительные, более конкретные ссылки приведены в списках задач.<br />
<br />
===0. Введение в математическое моделирование===<br />
[https://drive.google.com/file/d/1J8l9jeMZsi48zl6NmxY-YXrU01eqLvxN/view?usp=sharing Задачи]<br />
<br />
'''Занятия 1,2 (17.01):'''<br />
<br />
0.1 Общее представление о математической модели. <br />
<br />
0.2 Корректность по Адамару.<br />
<br />
0.3 Математическая модель как система уравнений.<br />
<br />
0.4 Пример алгебраического уравнения: уравнение Кеплера.<br />
<br />
'''Занятия 3,4 (24.01):'''<br />
<br />
0.5 Примеры моделей, связанных с ОДУ<br />
<br />
0.6 Дифференциальные операции векторного анализа<br />
<br />
'''Занятие 5 (31.01):'''<br />
<br />
0.7 Примеры моделей, связанных с УрЧП<br />
<br />
0.8 Примеры моделей, некорректных по Адамару<br />
<br />
'''Литература''' (вообще по предмету математическое моделирование):<br />
<br />
1. Самарский А.А., Михайлов А.П. - Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2001<br />
<br />
2. Зарубин В.С. - Математическое моделирование в технике. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2003<br />
<br />
3. Амелькин В.В., Садовский А.П. - Математические модели и дифференциальные уравнения. Минск: Выш. школа, 1982<br />
<br />
===1. Вариационное исчисление===<br />
<br />
[https://drive.google.com/file/d/1GaKItH4MikGh1QjYH0pttQNtGWcqj36r/view?usp=sharing Задачи]<br />
<br />
'''Занятие 6 (31.01):'''<br />
<br />
1.1 Основные нормированные пространства<br />
<br />
1.2 Понятие непрерывного функционала<br />
<br />
'''Занятия 7,8 (07.02):'''<br />
<br />
1.3 Механическая система, функция Лагранжа и функционал действия<br />
<br />
1.4 Типы вариационных задач<br />
<br />
1.5 Дифференциал (вариация) функционала и необходимое условие экстремума<br />
<br />
'''Занятия 9,10 (14.02):'''<br />
<br />
1.6 Основные леммы вариационного исчисления<br />
<br />
1.7 Задача с закрепленной границей<br />
<br />
'''Занятия 11,12 (21.02):'''<br />
<br />
1.8 Задача со свободной границей<br />
<br />
1.9 Задача с подвижной границей, условие трансверсальности<br />
<br />
1.10 Задача на условный экстремум<br />
<br />
'''Занятия 13,14 (28.02):'''<br />
<br />
1.11 Уравнения Гамильтона<br />
<br />
1.12 Теорема Нётер и законы сохранения<br />
<br />
1.13 Уравнение Гамильтона - Якоби<br />
<br />
'''Литература:'''<br />
<br />
1. Гельфанд И.М., Фомин С.В. - Вариационное исчисление. М.: Физматлит, 1961<br />
<br />
2. Смирнов В.И. - Курс высшей математики. Том 4 часть 1. М.: Наука, 1974. Глава 2<br />
<br />
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Курс теоретической физики. Том 1. Механика.<br />
<br />
4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия. М.: URSS, 2013. Том 1. Главы 5, 6<br />
<br />
===2. Дифференциальная геометрия===<br />
<br />
[ Задачи]<br />
<br />
'''Занятия 15,16 (07.03):'''<br />
<br />
2.1 Понятие кривой. Примеры кривых<br />
<br />
2.2 Кривизны, сопровождающий базис и уравнения Френе<br />
<br />
'''Занятия 17,18 (14.03):'''<br />
<br />
2.3 Понятие поверхности. Примеры поверхностей<br />
<br />
2.4 Первая квадратичная форма. Изометричность<br />
<br />
'''Занятия 19,20 (04.04):'''<br />
<br />
2.5 Вторая квадратичная форма. Главные кривизны<br />
<br />
2.6 Средняя кривизна и полная кривизна. Сферическое отображение<br />
<br />
'''Занятия 21,22 (11.04):'''<br />
<br />
2.7 Деривационные формулы Гаусса - Вейнгартена. Символы Кристоффеля<br />
<br />
2.8 Уравнения Гаусса и Петерсона - Кодацци<br />
<br />
'''Занятие 23,24 (18.04):'''<br />
<br />
2.9 Ковариантная производная, параллельный перенос и геодезические линии<br />
<br />
'''Литература:'''<br />
<br />
1. Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции одного переменного. Часть 3. М.: 1970. Глава 16 <br />
<br />
2. Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. Части 1-2. М.: 1972. Глава 5.<br />
<br />
3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия. М.: URSS, 2013. Том 1. Главы 1, 2<br />
<br />
4. Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. - [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intf&paperid=108 Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии] // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, том 28, Геометрия-1. М.: ВИНИТИ, 1988. Главы 1,2<br />
<br />
5. Савелов А.А. - Плоские кривые. М.: ЛИБРОКОМ, 2014<br />
<br />
6. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. - Аналитические поверхности. М.: Наука, 2006<br />
<br />
===3. Задача Коши для УрЧП===<br />
<br />
[ Задачи]<br />
<br />
'''Занятие 25,26 (25.04):'''<br />
<br />
3.1 Система уравнений в дифференциалах и сопряженная система УрЧП<br />
<br />
3.2 Теорема Фробениуса и сведение к ОДУ<br />
<br />
'''Занятия 27,28 (16.05):'''<br />
<br />
3.3 Линейное однородное УрЧП I-го порядка и характеристики<br />
<br />
3.4 Нелинейное УрЧП I-го порядка и характеристические полосы<br />
<br />
'''Занятия 29,30 (23.05):'''<br />
<br />
3.5 Уравнения и системы уравнений класса Ковалевской. Сведение к системе I-го порядка<br />
<br />
3.6 Задача Коши для системы уравнений класса Ковалевской. Теорема Коши - Ковалевской<br />
<br />
'''Занятия 31,32 (30.05):'''<br />
<br />
3.7 Линейные системы класса Ковалевской<br />
<br />
3.8 Метод Римана. Характеристики и римановы инварианты<br />
<br />
'''Занятия 33,34 (06.06):'''<br />
<br />
3.9 Метод Фурье. Разделение переменных и исследование устойчивости<br />
<br />
'''Литература:'''<br />
<br />
1. Хартман Ф. - Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. Глава 6<br />
<br />
2. Курант Р. - Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. Глава 1 §7, глава 2<br />
<br />
3. Егоров Ю.В., Шубин М.А. - [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intf&paperid=111&option_lang=rus Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории] // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, т.30, Дифференциальные уравнения с частными производными – 1, М.: ВИНИТИ, 1988, Глава 1<br />
<br />
4. Рашевский П.К. - Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: УРСС, 2012<br />
<br />
5. Фиников С.П. - Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ОГИЗ, 1948.<br />
<br />
== Занятия ==<br />
Занятия проводятся в смешанном формате, без разделения материала на теорию / практику. Теоретический материал сопровождается практическим решением задач как аналитически (вручную или в системе компьютерной алгебры), так и численно (например, в питоне).<br />
<br />
Записи занятий выкладываются в [ плейлист]<br />
<br />
== Формы контроля ==<br />
По каждой теме (кроме Введения) выдается домашнее задание, выполнение которого оценивается.<br />
<br />
Текущие оценки за домашние работы выставляются в [ гугл-таблицу]. Все домашние работы учитываются с одинаковым весом и складываются в среднюю оценку (Д).<br />
<br />
В конце семестра предусмотрен экзамен (Э), имеющий формат большой контрольной работы по всему материалу курса.<br />
<br />
Итоговая оценка = 0.7 Д + 0.3 Э</div>imported>Emaevskiy