Telegram-канал: https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ256	БПМИ257	БПМИ258	БПМИ259	БПМИ2510	БПМИ2511	БПМИ2512	БПМИ2513	БПМИ2514	БПМИ2515
Лектор	Роман Авдеев
Семинарист	Роман Авдеев	Михаил Игнатьев	Дмитрий Гайфулин	Сергей Гайфуллин	Алина Никитина	Роман Стасенко	Амина Каракотова	Кирилл Александрóв	Алексей Таламбуца	Марк Черебедов
Ассистент	Елизавета Комарова	Максим Грицан	Вадим Камалов	Марина Василькова	Данил Лисиенко	София Соленникова	Дамир Хасанов	Полина Литвина	Максим Минин	Сергей Зайцев

Порядок формирования оценок

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

O_{итоговая} = 0,33 * О_дз + 0,22*О_к/р + 0,45*О_экз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Краткое содержание лекций

Конспект лекций

Лекция 1 (1.04.2026) [слайды]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

Лекция 2 (3.04.2026) [слайды]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

Лекция 3 (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

Лекция 4 (15.04.2026) [слайды]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

Лекция 5 (17.04.2026) [слайды]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

Лекция 6 (22.04.2026) [слайды]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

Лекция 7 (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

Лекция 8 (29.04.2026) [слайды]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

Лекция 9 (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

Лекция 10 (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

Лекция 11 (22.05.2026) [слайды]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

Лекция 12 (27.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

Лекция 13 (3.06.2026). Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять.

Лекция 14 (5.06.2026). Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей. Бинарный код Хэмминга, его минимальное расстояние и число ошибок, которые он может исправлять. Неравенство Синглтона. Код Рида–Соломона и его минимальное расстояние: классическая реализация и БЧХ-реализация.

Листки с задачами

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Задачи к лекции 3

Задачи к лекции 4

Задачи к лекции 5

Задачи к лекции 6

Задачи к лекции 7

Задачи к лекции 8

Задачи к лекции 9

Задачи к лекции 10

Задачи к лекции 11

Задачи к лекции 12

Задачи к лекции 13

Задачи к лекции 14

Домашние задания

Контрольная работа

Дата-время: 8 июня, 16:40

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Темы задач на контрольной работе

Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, ещё задачи]
Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, ещё примеры]
Базисы Грёбнера и их приложения [примеры, задачи 5,9 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 2,3 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
Вычисления в конечных полях [примеры]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина)

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет

Экзамен

Формат экзамена: устный

Ведомости текущего контроля

256	257	258	259	2510	2511	2512	2513	2514	2515

Литература

Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003