Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПИ 251	БПИ 252	БПИ 253	БПИ 254	БПИ 255	БПИ 256	БПИ 257	БПИ 258	БПИ 259	БПИ 2510
Лектор	Михайлец Екатерина Викторовна
Семинаристы	Михайлец Екатерина Викторовна	Зайцева Юлия Ивановна	Хрыстик Михаил Андреевич	Преснова Екатерина Денисовна	Зайцева Юлия Ивановна	Медведь Никита Юрьевич	Преснова Екатерина Денисовна	Максаев Артём Максимович	Шахматов Кирилл Вениаминович	Бельдиев Иван Сергеевич
Ассистенты	Суханов Григорий, Савин Артём	Палий Александр, Беднова Александра	Симонов Алексей, Адаев Ислам	Черепенникова Варвара, Купцевич Эвелина	Осина Дарья, Лобан Филипп	Широкова Ульяна, Файзуллин Илья	Владимиров Алексей, Прокопьев Степан	Лапа Антонина, Лизунов Даниил	Жданок Дарья, Ноговицын Айтал	Торосян Андраник, Михайлов Артём, Марьин Даниил

Консультации

Вы можете посещать консультации, организованные как для вашей группы, так и для других групп, если не удаётся посещать свои. Таблица, в которой отмечается проведение консультаций вашими ассистентами. Вы можете следить по таблице за тем, чтобы консультации проводились вовремя, и если они вам нужны, то при необходимости напоминать ассистентам. Таблица обновляется по воскресеньям.

Аттестация и оценки

2025/2026 учебный год 1 семестр

О1 = 0,27∙О_(Кр-1) + 0,12∙О_(ИДЗ-1 и ИДЗ-2) + 0,16∙О_(Сем-1) + 0,45∙О_(Экз-1)

Здесь О_(Сем-1) - оценка от 0 до 10 баллов, учитывающая регулярность посещения семинаров, активность на семинарах, в том числе решение задач у доски, и выполнение текущих домашних работ в 1-2 модулях.

Оценка за индивидуальные домашние задания (ИДЗ) в 1 и 2 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(ИДЗ-1) и О_(ИДЗ-2).

В конце 2го модуля проводится письменный экзамен.

2025/2026 учебный год 2 семестр

О2 = 0,21∙О_(Кр-3) + 0,08∙О_(ИДЗ-3 и ИДЗ-4) + 0,12∙О_(Сем-2) + 0,24∙О_(Коллок-мод3 и Коллок-мод4) + 0,45∙О_(Экз-2)

Обратите внимание, что во 2м семестре общая сумма коэффициентов равна 1,1, т.е. с некоторым "запасом".

Оценка за коллоквиумы в 3 и 4 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(Коллок-мод3) и О_(Коллок-мод4). Оценка за ИДЗ аналогично.

В конце 4го модуля проводится письменный экзамен, который является блокирующим.

Подробнее о каждой из составляющих итоговой оценки можно прочитать в ПУД (план учебной дисциплины) на сайте ВШЭ.

Прошедшие лекции

Здесь находится информация о пройденных на каждой лекции темах, а также, начиная с 16 лекции, ссылки на записи.

Лекция 1 (03.09.2025): Матрицы. Частные случаи матриц. Единичная матрица. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение. Примеры. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, умножения. Доказательство ассоциативности умножения матриц. Замечание о некоммутативности умножения. Пример.

Лекция 2 (10.09.2025): Транспонирование и его свойства. Доказательство связи умножения и транспонирования. Элементарные преобразования строк матрицы. Представление элементарных преобразований умножением на матрицу специального вида. Пример. Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Примеры. Теорема о методе Гаусса с доказательством. Системы линейных алгебраических уравнений и их связь с методом Гаусса.

Лекция 3 (17.09.2025): Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Утверждение о том, что транспозиция меняет чётность перестановки. Циклическая запись. Умножение подстановок. Некоммутативность умножения. Тождественная подстановка. Обратная подстановка.

Замечание, что любая подстановка представима в виде произведения транспозиций. Замечание, что знак произведения подстановок равен произведению знаков множителей. Общая формула для определителя произвольного порядка. Вычисление определителя матрицы порядков 2 и 3, правило Саррюса.

Свойства определителя:

1. Определитель транспонированной матрицы.

2. Полилинейность. Пример.

Лекция 4 (24.09.2025):

Свойства определителя:

3. Кососимметричность.

4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк.

5. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных.

6. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других.

7. Значение определителя на единичной и диагональной матрице.

8. Определитель верхнетреугольной матрицы.

Замечание о том, как меняется определитель при элементарных преобразованиях строк/столбцов. 1й способ вычисления определителя приведением методом Гаусса матрицы к верхнетреугольному виду.

Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точностью до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице.

Лекция 5 (01.10.2025):

Свойства определителя:

9. Разложение по строке. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Примеры.

10. Фальшивое разложение. Третье (индуктивное) определение детерминанта через разложение по строке.

11. Определитель блочной матрицы.

12. Определитель произведения с доказательством. Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований и рекуррентных соотношений.

Доказательство правила Крамера. Определение обратной матрицы. Её единственность.

Лекция 6 (08.10.2025): Теорема о критерии существования обратной матрицы с доказательством. Союзная матрица. Формула для вычисления обратной матрицы. Матрица, обратная к произведению матриц, и матрица, обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Матричные уравнения двух типов двумя способами каждый.

Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Примеры. Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы (с доказательством) и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Ранг ступенчатой матрицы.

Лекция 7 (15.10.2025): Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки (столбцы). Примеры. Критерий линейной зависимости с доказательством. Пример.

Теорема о базисном миноре с доказательством. Пример. Следствия теоремы о базисном миноре: теорема о ранге матрицы с доказательством (эквивалентное определение ранга), критерий невырожденности квадратной матрицы с доказательством.

Лекция 8 (22.10.2025): Вычисление ранга матрицы (элементарные преобразования и метод окаймляющих миноров). Теорема об окаймляющих минорах с доказательством. СЛАУ, совместная, однородная, неоднородная СЛАУ. Свойства решений СЛАУ. Следствие о том, каким может быть множество решений СЛАУ (несовместная, определённая и неопределённая СЛАУ). Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности) с доказательством.

Лекция 9 (05.11.2025): Пример на совместность СЛАУ. Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений. Теорема о существовании ФСР. Критерий существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ (следствие из теоремы о существовании ФСР). Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ (начало доказательства).

Лекция 10 (12.11.2025): Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ (окончание доказательства). Пример. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ. Пример. Комплексные числа, алгебраическая форма записи. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел.

Лекция 11 (19.11.2025): Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической записи. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Изображение корней n-ой степени на комплексной плоскости. Пример. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка "основной" теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о том, что комплексный многочлен n-ной степени имеет n корней с учётом кратности.

Лекция 12 (26.11.2025): Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.

Векторы в трёхмерном пространстве. Коллинеарность, компланарность. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трёхмерном пространстве. Ортонормированный базис. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах в произвольном базисе. Вычисление скалярного произведения в ОНБ.

Лекция 13 (03.12.2025): Правая и левая тройка векторов. Правый базис. Векторное произведение векторов в трёхмерном пространстве. Критерий коллинеарности двух векторов. Алгебраические свойства векторного произведения (линейность, кососимметричность). Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в правом ОНБ.

Смешанное произведение векторов, его свойства. Вычисление объема параллелепипеда и тетраэдра. Критерий компланарности трёх векторов. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в правом ОНБ.

Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении.

Лекция 14 (10.12.2025): Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. 6 типов уравнений плоскости: общее уравнение, через три точки, уравнение в отрезках, каноническое, векторные и параметрические уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Прямая в пространстве. 4 типа уравнений прямой: общие, векторные, параметрические, канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. Угол между прямыми.

Лекция 15 (17.12.2025): Отображения множеств. Образ и полный прообраз. Сюръективность и инъективность. Биекция. Примеры. Бинарное отношение на множестве. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Утверждение о том, что любое разбиение множества задаёт отношение эквивалентности. Фактормножество. Примеры (горизонтальные прямые на плоскости, вычеты). Бинарные операции. Ассоциативные и коммутативные бинарные операции. Пример (композиция отображений, её ассоциативность и некоммутативность). Алгебраические структуры. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа.

Лекция 16 (14.01.2026): Эквивалентное определение группы. Примеры групп: общая линейная группа GL_n(R), симметрическая группа S_n. Порядок группы. Абелева группа. Пример. Подгруппа. Собственная подгруппа. Примеры: специальная линейная подгруппа SL_n(R), знакопеременная подгруппа A_n. Критерий подгруппы с доказательством. Гомоморфизм. Примеры гомоморфизма: детерминант, логарифм. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Пример на изоморфизм D_3 и S_3. Группа диэдра D_n. Таблица Кэли.

Лекция 17 (21.01.2026): Группа вычетов Z_n. Таблица Кэли для вычетов по модулю 4. Порядок элемента. Примеры. Циклическая группа. Примеры циклических групп: целые числа по сложению, комплексные корни n-й степени из единицы и группа вычетов по модулю n. Утверждение о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению.

Лекция 18 (28.01.2026): Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2*Z_2. Проверка неизоморфности группе Z_4. Изоморфность группе Клейна V_4. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Примеры. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие 3 из теоремы Лагранжа. Теорема Кэли.

Лекция 19 (04.02.2026): Правый смежный класс. Нормальная подгруппа. Примеры. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов по нормальной подгруппе. Пример факторгруппы. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Образ гомоморфизма. Утверждение, что образ гомоморфизма является подгруппой. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра (на 2м потоке только формулировка).

Лекция 20 (11.02.2026): Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Утверждение, что ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой (пока без доказательства).

Теорема о гомоморфизме групп. Примеры к теореме о гомоморфизме групп: Z/nZ, GLn/SLn. Естественный гомоморфизм. Связь между гомоморфизмом групп, естественным гомоморфизмом и изоморфизмом из теоремы о гомоморфизме. Сопряжённые элементы. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения.

Лекция 21 (18.02.2026): Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Простые группы. Пример Zp. Гамильтоновы группы. Группа кватернионов Q8, её таблица Кэли. Замечание, что группа кватернионов не абелева, но все её подгруппы нормальные. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Утверждение, что Aut(G) — группа. Пример: автоморфизмы в Z. Центр группы. Пример для Q8. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов (на 2м потоке только формулировка).

Лекция 22 (25.02.2026): Доказательство утверждения о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Применение теории групп в криптографии. Задача дискретного логарифмирования. Шифрование: протокол Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Кольцо с единицей. Коммутативное кольцо. Примеры колец: Z, Mn(R), R[x], Zn. Таблица умножения для Z4. Делители нуля. Утверждение о том, что 0 поглощающий элемент в кольце. Целостное кольцо. Пример. Критерий целостности для нетривиального коммутативного кольца с единицей (закон сокращения). Обратимые элементы в кольце. Поле, примеры полей.

Лекция 23 (04.03.2026): Мультипликативная группа кольца. Подкольцо. Подполе. Примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Взаимно простые элементы кольца. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Главный идеал. Примеры. Замечание, что Z — кольцо главных идеалов. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Утверждение о том, что образ гомоморфизма является подкольцом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля. Примеры.

Лекция 24 (11.03.2026): Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Замечание, что в поле нет делителей нуля. Замечание, что поля нулевой характеристики бесконечны. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Расширение поля. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Поле рациональных дробей C(x) как расширение поля комплексных чисел. Алгебраические элементы над полем. Трансцендентные элементы. Примеры. Теорема о существовании для любого многочлена корня в некотором расширении поля (без доказательства). Пример на факторкольцо: изоморфизм R[x]/<x^2+1> полю комплексных чисел. Теорема о том, когда факторкольцо кольца многочленов над полем само является полем (доказательство достаточности).

Лекция 25 (18.03.2026): Теорема о том, когда факторкольцо кольца многочленов над полем само является полем (доказательство необходимости). Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом. Явное построение поля из 4 элементов.

Поле рациональных дробей с коэффициентами из Zp как пример бесконечного поля положительной характеристики.

Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: геометрические векторы V_3, арифметическое пространство F^n, пространство числовых последовательностей, пространство непрерывных на отрезке функций, матричное пространство M_mn(F), пространство F_n[x] многочленов степени не выше n, пространство решений однородной СЛАУ. Базис, координаты вектора. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Примеры: размерность и канонический базис в F^n, M_mn(F), F_n[x].

Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса).

Лекция 26 (01.04.2026): Матрица перехода от старого базиса к новому. Пример. Невырожденность матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение, что матрица обратного перехода равна обратной матрице к исходной. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах.

Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Примеры. Ранг системы векторов. Замечание о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе.

Пересечение подпространств. Сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств (формулировка).

Лекция 27 (08.04.2026): Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Прямая сумма подпространств, разложение в проекции. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Пример с разложением пространства квадратных матриц в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц.

Билинейная форма и её матрица. Биекция между билинейными формами и их матрицами при фиксированном базисе. Примеры. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Квадратичная форма и матрица квадратичной формы. Пример. Связь билинейной и квадратичной форм. Симметрические и кососимметрические билинейные формы. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.

Лекция 28 (15.04.2026): Ранг квадратичной формы. Лемма о том, что ранг матрицы не меняется при умножении на невырожденную матрицу. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная, отрицательная, неотрицательная, неположительная определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы. Примеры. Критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции, сигнатура. Замечание, что одну квадратичную форму можно перевести в другую невырожденным линейным преобразованием тогда и только тогда, когда их сигнатуры совпадают.

Лекция 29 (22.04.2026): Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример (оператор проекции на Ox). Утверждение о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Пример с задачей про вирус как иллюстрация применения линейных операторов. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов. Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения (формулировка).

Литература

Учебники

А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III
В.А. Ильин, Г.Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 3-е издание

Сборники задач

И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007
Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том II, часть 2. М.: ИКД "Зерцало-М", 2003