Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ251	БПМИ252	БПМИ253	БПМИ254	БПМИ255
Лектор	Дима Трушин, Роман Авдеев
Семинарист	Дима Трушин, Екатерина Нистюк	Юля Зайцева	Дима Трушин, Антон Трушин	Антон Трушин	Михаил Игнатьев
Ассистент	Хаким Вердиев и Дмитрий Калугин	Антон Ныйкин и Вова Родин	Михаил Бугрышев и Андрей Павлов	Юлия Баранова и Катя Тюрина	Елизавета Жукова и Анастасия Одинцова

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	среда
1	Дима Трушин	pending
2	Юля Зайцева
3	Михаил Игнатьев
4	Антон Трушин

* Просьба предупреждать, если планируете прийти, возможны изменения

Формы контроля знаний студентов

Коллоквиум
Контрольная работа
Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
Активность и работа на семинарах
Экзамен

Бонус к накопленной оценке:

Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,36 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,25 * O_д/з + 0,14 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

4-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,36 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,25 * O_д/з + 0,14 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (03.09.2025). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса. Матрицы и матричные операции.

Лекция 2 (10.09.2025). Дефекты матричных операций. Связь с линейными уравнениями. Деление и обратимость матриц. Левая и правая обратная, двусторонняя обратимость только для квадратных матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

Лекция 3 (17.09.2025) Следствия 6 эквивалентных определений. Массовое решение систем. Поиск обратной матрицы Гауссом. Блочные формулы умножения матриц. Метод восстановления главных переменных через множество решений. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений.

Лекция 4 (24.09.2024) Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена.

Лекция 5 (01.10.2025) Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Существование и единственность знака перестановки.

Лекция 6 (08.10.2025) Три подхода к определителям: (I) явная формула с помощью перестановок, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) согласованность с умножением. Вычисление по явной формуле для верхнетреугольных матриц и в случае размерностей 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Полилинейность определителя (импликация (I)=>(II)). Определитель элементарных матриц. Классификация полилинейных отображений. Доказательство импликации (II)=>(I).

Лекция 7 (15.10.2025) Мультипликативность определителя (импликация (II)=>(III)), определитель с углом нулей и определитель блочно верхнетреугольной матрицы. Импликация (III)=>(I). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явные формулы для обратной матрицы.

Лекция 8 (22.10.2025) Формулы Крамера. Характеристический многочлен. Связь характеристического многочлена со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

Лекция 9 (5.11.2025) Определение поля. Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. План доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

Лекция 10 (12.11.2025) Доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

Лекция 11 (19.11.2025) Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость. Примеры пространств и подпространств. Порождающая система, линейная оболочка.

Лекция 12 (26.11.2025) Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Понятие координат вектора. Описание всех базисов в терминах одного.

Лекция 13 (3.12.2025) Фундаментальная система решений. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

Лекция 14 (10.12.2025) Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

Лекция 15 (17.12.2025) Оценка ранга произведения матриц. Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Классификация линейных отображений. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Линейная независимость подрпостранств. Внешние и внутренние прямые суммы (6 эквивалентных определений).

3-4 модули

Лекция 16 (14.01.2026). Линейные операторы, определения и примеры, проекторы. Матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр, ранг. Критерии обратимости линейного оператора.

Лекция 17 (21.01.2026). Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора. Собственные подпространства. Связь собственных значений со спектром. Корневые подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора.

Лекция 18 (28.01.2026). Кратность собственных значений. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Линейная независимость собственных и корневых подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора.

Лекция 19 (4.02.2026). Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены. Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств.

Лекция 20 (11.02.2026). Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах характеристического многочлена (БД). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр. Минимальные инвариантные подпространства в собственном подпространстве для идеального спектра.

Лекция 21 (18.02.2026). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток.

Лекция 22 (25.02.2026). Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и единственность. Классификация линейных операторов. Функционалы: двойственное (сопряжённое) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного.

Лекция 23 (4.03.2026). Наличие функционала, не равного нулю на заданном векторе. Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на своё второе сопряжённое. Конструкция сопряжённого линейного отображения. Матрица сопряжённого линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с вторым сопряжённым и конструкции сопряжённого линейного отображения.

Лекция 24 (11.03.2026). Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряжённым. Матрица билинейной формы. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов. Смена матрицы билинейной формы. Билинейные формы и матричный формализм. Ранг билинейной формы. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер.

Лекция 25 (18.03.2026). Двойственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы. Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Связь инвариантности подпространств для линейного оператора и сопряжённого к нему. Билинейные формы на одном пространстве. Симметричность и кососимметричность формы. Замечание про поле характеристики 2.

Лекция 26 (1.04.2026). Матрицы симметричных и кососимметричных билинейных форм. Матричные характеристики билинейных форм. Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве при обратимости двойки в поле) в сумму симметрической и кососимметрической. Ограничение билинейной формы на подпространство. Невырожденность ограничения. Диагонализуемость симметрических форм (замечание про характеристику 2). Симметричный Гаусс.

Лекция 27 (8.04.2026). Метод Якоби. Алгоритм диагонализации на основе метода Якоби. Квадратичные формы. Связь квадратичных и билинейных форм. Классификация симметричных билинейных форм над алгебраически замкнутым полем. Классификация симметричных билинейных форм над полем вещественных чисел и сигнатура.

Лекция 28 (15.04.2026). Геометрический смысл сигнатуры. Положительная и отрицательная определённость формы над полем вещественных чисел. Критерий Сильвестра. Графики квадратичных форм. Анализ поверхности. Евклидовы пространства и скалярные произведения. Понятие длины вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла в евклидовом пространстве. Классификация евклидовых пространств. Ортогональные и ортонормированные базисы. Ортогонализация Грама-Шмидта.

Лекция 29 (21.04.2026). Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Формула BABA для проектора. Формула Aтата для ортопроектора. Формула для ортогональной проекции в терминах ортогонального базиса подпространства. Расстояние в евклидовом пространстве. Утверждение о расстоянии и угле между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов.

Лекция 30 (28.04.2026). Классификация ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса. Ортогональные матрицы. Теорема Пифагора. Матрица Грама и её свойства. k-мерные объёмы через матрицу Грама и рекуррентная формула. Изменение объёма при смене образующих параллелепипеда и при действии линейного оператора. Понятие ориентации в евклидовом пространстве. Ориентированный n-мерный объём.

Лекция 31 (12.05.2026) [слайды]. Изменение ориентированного объёма при смене образующих параллелепипеда. Связь ориентированного объёма с определителем. Изменение ориентированного объёма под действием оператора. Комплексные векторные пространства. Полуторалинейные формы, матрица полуторалинейной формы и формула её изменения при смене базиса. Эрмитово сопряжение матрицы. Ортогональные дополнения. Квадратичные формы для полуторалинейных форм. Поляризационная формула. Соответствие между полуторалинейными формами и квадратичными формами. Эрмитовы и косоэрмитовы формы, интерпретация этих свойств в терминах матриц. Вещественность значений квадратичной формы для эрмитовой полуторалинейной формы. Диагонализация эрмитовых и косоэрмитовых форм. Классификация эрмитовых форм. Положительная и отрицательная определённость эрмитовых форм. Метод Якоби. Критерий Сильвестра.

Лекция 32 (18.05.2026) [слайды]. Эрмитово векторное пространство и эрмитово скалярное произведение. Понятие длины вектора, неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла между прямыми. Ортогональность и ортонормированность. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного и матриц перехода. Унитарные матрицы. Классификация эрмитовых пространств. Ортогональные проекции, расстояния, метод наименьших квадратов, матрица Грама. Комплексификация векторного пространства, его базис и размерность. Комплексификация линейного отображения и билинейной формы, их матрицы. Операторы в евклидовом и эрмитовом пространствах. Движения, различные определения, описание движений с помощью матриц.

Лекция 33 (25.05.2026). Свойства движений: спектр на окружности, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству. Классификация движений в эрмитовом случае (диагонализуемость в ортонормированном базисе плюс спектр на окружности). Классификация движений в евклидовом случае (блочная диагонализуемость специального вида в ортонормированном базисе). Сопряжённое линейное отображение и его матрица. Сопряжённые и самосопряжённые операторы. Матрица самосопряжённого оператора. Свойства самосопряжённого оператора: вещественный непустой спектр, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству.

Лекция 34 (1.06.2026). Классификация самосопряжённых операторов в эрмитовом и евклидовом пространствах. Изоморфизм между операторами и билинейными (полуторалинейными) формами в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Приведение формы к главным осям. Вычисление сигнатуры симметричной билинейной (эрмитовой полуторалинейной) формы через спектр её матрицы. Классификация линейных отображений между евклидовыми пространствами. Сингулярное разложение матрицы (SVD).

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

каждый пункт в листке считается отдельной задачей
сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 3. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 4. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка до 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Индивидуальные домашние задания

Лабораторные работы

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Контрольные работы

2-й модуль

Дата контрольной работы -- 13 декабря. Время и правила проведения контрольной TBA.

4-й модуль

Коллоквиумы

2-й модуль

Дата проведения коллоквиума -- 19 декабря. Точные условия и правила TBA.

4-й модуль

Экзамен

2-й модуль

4-й модуль

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

251	252	253	254	255

Результаты сдачи задач из листков

251	252	253	254	255

Результаты 1-й контрольной работы

251	252	253	254	255

Сводные таблицы с оценками

251	252	253	254	255

3-4 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

251	252	253	254	255

Результаты сдачи задач из листков

251	252	253	254	255

Ссылки

Общие

Канал в Telegram
Лекции на github.
Алгоритмы на github.

Группы 251 и 253

Группа в Telegram
Материалы семинаров и домашние задания

Литература

Учебники

Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

Сборники задач

Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.